jaquelyne-cobaej: julio 2015

Hola a todos, en esta sección encontraras parte de la historia de las matemáticas enfocándonos al calculo diferencial así como algunos conceptos e interesantes imágenes, para conocer las matemáticas de una manera mas practica.

EL CALCULO Y SUS CREADORES TRÍPTICO

(Frente)

(Fondo)

Calculo Diferencial

Es un método o herramienta universal se puede aplicar en la fisica, Biologia, quimica, contabilidad, etc. es decir, en cualquier proceso en donde se pueda aplicar una ecuacion.

Su aplicación mas conocida es la de los máximos y mínimos, de una función, (variable dependiente en una ecuación) es decir son palabras que sirven para determinar: las coordenadas del punto mas bajo o alto de una curva (o ambos) donde la pendiente es cero.

Historia del calculo diferencial

El cálculo diferencial estudia los incrementos en las variables. Sean x e y dos variables relacionadas por la ecuación y = f ( x ), en donde la función f expresa la dependencia del valor de y con los valores de x. Por ejemplo, x puede ser tiempo e y la distancia recorrida por un objeto en movimiento en el tiempo x. Un pequeño incremento h en la x, de un valor x 0 a x 0 + h, produce un incremento k en la y que pasa de y 0 = f ( x 0 ) a y 0 + k = f ( x 0 + h ), por lo que k = f ( x 0 + h ) - f ( x 0 ). El cociente k/h representa el incremento medio de la y cuando la x varía de x 0 a x 0 + h. La gráfica de la función y = f ( x ) es una curva en el plano xy y k/h es la pendiente de la recta AB entre los puntos A = ( x 0 , y 0 ) y B = ( x 0 + h, y 0 + k ) en esta curva; esto se muestra en la figura 1, en donde h = AC y k = CB, así es que k/h es la tangente del ángulo BAC.
Si h tiende hacia 0, para un x 0 fijo, entonces k/h se aproxima al cambio instantáneo de la y en x 0 ; geométricamente, B se acerca a A a lo largo de la curva y = f ( x ), y la recta AB tiende hacia la tangente a la curva, AT , en el punto A. Por esto, k/h tiende hacia la pendiente de la tangente (y por tanto de la curva) en A. Así, se define la derivada f '( x 0 ) de la función y = f ( x ) en x 0 como el límite que toma k/h cuando h tiende hacia cero, lo que se escribe:

por lo que k/h = 2 x 0 + h, que tiende hacia 2 x 0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x 0 es por tanto 2 x 0 , y la derivada de f ( x ) = x 2 es f '( x ) = 2 x. De manera similar, la derivada de x m es mx m-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).

Para calcular la derivada de una función, hay que tener en cuenta unos cuantos detalles: primero, se debe tomar una h muy pequeña (positiva o negativa), pero siempre distinta de cero. Segundo, no toda función f tiene una derivada en todas las x 0 , pues k/h puede no tener un límite cuando h ? 0; por ejemplo, f ( x ) = | x | no tiene derivada en x 0 = 0, pues k/h es 1 o -1 según que h > 0 o h < 0; geométricamente, la curva tiene un vértice (y por tanto no tiene tangente) en A = (0,0). Tercero, aunque la notación dy/dx sugiere el cociente de dos números dy y dx (que indican cambios infinitesimales en y y x ) es en realidad un solo número, el límite de k/h cuando ambas cantidades tienden hacia cero.
Diferenciación es el proceso de calcular derivadas. Si una función f se forma al combinar dos funciones u y v, su derivada f ' se puede obtener a partir de u, v y sus respectivas derivadas utilizando reglas sencillas. Por ejemplo, la derivada de la suma es la suma de las derivadas, es decir, si f = u + v (lo que significa que f ( x ) = u ( x ) + v ( x ) para todas las x ) entonces f ' = u ' + v '. Una regla similar se aplica para la diferencia: ( u - v )' = u ' - v '. Si una función se multiplica por una constante, su derivada queda multiplicada por dicha constante, es decir, ( cu )' = cu ' para cualquier constante c. Las reglas para productos y cocientes son más complicadas: si f = uv entonces f ' = uv ' + u ' v, y si f = u/v entonces f ' = ( u ' v - uv ')/ v 2 siempre que v ( x ) ? 0. Utilizando estas reglas se pueden derivar funciones complicadas; por ejemplo, las derivadas de x 2 y x 5 son 2 x y 5 x 4 , por lo que la derivada de la función 3 x 2 - 4 x 5 es (3 x 2 - 4 x 5 )' = (3 x 2 )' - (4 x 5 )' = 3·( x 2 )' - 4·( x 5 )' = 3·(2 x ) - 4·(5 x 4 ) = 6 x - 20 x 4 . En general, la derivada de un polinomio cualquiera f ( x ) = a 0 + a 1 x + ... + a n x n es f '( x ) = a 1 + 2 a 2 x + ... + na n x n -1 ; como caso particular, la derivada de una función constante es 0. Si y = u ( z ) y z = v ( x ), de manera que y es una función de z y z es una función de x, entonces y = u ( v ( x )), con lo que y es función de x, que se escribe y = f ( x ) donde f es la composición de u y v; la regla de la cadena establece que dy/dx = ( dy/dz )·( dz/dx ), o lo que es lo mismo, f '( x ) = u '( v ( x ))· v '( x ). Por ejemplo, si y = e z en donde e = 2,718... es la constante de la exponenciación, y z = ax donde a es una constante cualquiera, entonces y = e ax ; según la tabla, dy/dz = e z y dz/dx = a, por lo que dy/dx = ae ax .
Muchos problemas se pueden formular y resolver utilizando las derivadas. Por ejemplo, sea y la cantidad de material radiactivo en una muestra dada en el instante x. Según la teoría y la experiencia, la cantidad de sustancia radiactiva en la muestra se reduce a una velocidad proporcional a la cantidad restante, es decir, dy/dx = ay con una cierta constante negativa a. Para hallar y en función de x, hay que encontrar una función y = f ( x ) tal que dy/dx = ay para cualquier x. La forma general de esta función es y = ce ax en donde c es una constante. Como e 0 = 1, entonces y = c para x = 0, así es que c es la cantidad inicial (tiempo x = 0) de material en la muestra. Como a <0, se tiene que e ax ? 0 cuando x crece, por lo que y ? 0, confirmando que la muestra se reducirá gradualmente hasta la nada. Este es un ejemplo de caída exponencial que se muestra en la figura 2a. Si a es una constante positiva, se obtiene la misma solución, y = ce ax , pero en este caso cuando el tiempo transcurre, la y crece rápidamente (como hace e ax si a >0). Esto es un crecimiento exponencial que se muestra en la figura 2b y que se pone de manifiesto en explosiones nucleares. También ocurre en comunidades animales donde la tasa de crecimiento es proporcional a la población.

Este valor representa la magnitud de la variación de y y la pendiente de la curva en A. Cuando, por ejemplo, x es el tiempo e y es la distancia, la derivada representa la velocidad instantánea. Valores positivos, negativos y nulos de f′(x0) indican que f(x) crece, decrece o es estacionaria respectivamente en x0. La derivada de una función es a su vez otra función f′(x) de x, que a veces se escribe como dy/dx, df/dx o Df. Por ejemplo, si y = f(x) = x2 (parábola), entonces

por lo que k/h = 2x0 + h, que tiende hacia 2x0 cuando h tiende hacia 0. La pendiente de la curva cuando x = x0 es por tanto 2x0, y la derivada de f(x) = x2 es f′(x) = 2x. De manera similar, la derivada de xm es mxm-1 para una m constante. Las derivadas de las funciones más corrientes son bien conocidas (véase la tabla adjunta con algunos ejemplos).

El calculo aplicado en la vida cotidiana

Aplicando el calculo diferencial en el puente "Matute Remus" podemos ver que se aplica en la estructura del mismo, es decir como se encuentra formado a base de una circunferencia, la razón por la que los puentes estan hechos a base de una circunferencia es para que tengan una mayor resistencia.

Calculo aplicado en la cinemática de trauma

Como ya había mencionado el calculo es el método o herramienta que te ayuda a saber los movimientos de algún objeto, a sí como aspectos de velocidad, y aceleración, un ejemplo muy común es que se puede medir la velocidad con la que viaja un automóvil, pero no solo eso, también puedes medir la velocidad con la que se impacta en una barda, poste o inclusive con otro automóvil, hasta con que velocidad atropella a una persona y hasta donde pude llegar la persona atropellada con el impacto del automóvil, a esto se le llama Cinemática, este ejemplo se relaciona con el calculo diferencial en matemáticas y en física pues la cinemática es una rama de la física que también utiliza como herramienta el calculo diferencial.

Me gusto mucho este ejemplo por que en mi profesión como enfermera al momento de atender un paciente atropellado, necesitas saber con que velocidad lo impactaron y como callo el paciente para identificar mas rápido las lesiones que pueda tener.